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Hint
Answer
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pythagore
Toute application continue f:[a,b]->IR prend toutes les valeurs possibles de l'intervalle [f(a),f(b)].
Valeurs intermédiaires
Si f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0
Rolle
Si E et F des IK-ev et f une application linéaire de E dans F alors rg(f)+ker(f)=dim(E)
Rang
Soit E un IK-ev, G une partie génératrice de E et L une partie libre de E alors il existe F inclus dans G\L tel que l'union de L et F forment une base de E
Base incomplète
Si A et B sont deux polynômes de IK[X] avec B différent de 0 alors il existe un unique couple de polynôme (Q,R) de IK[X] tel que A=BQ+R et deg(R)
Division euclidienne
Hint
Answer
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 de C[X] admet au moins une racine complexe.
Alembert-Gauss
Si A et B sont deux polynômes de IK[X] alors il existe un couple de polynômes (U,V) de IK[X] tel que d=AU+BV avec d le PGCD de A et B
Bezout
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Bolzano-Weierstrass
Si f dérivable sur un intervalle I et s'il existe un réel strictement positif M tel que pour tout x∈ I |f'(x)|≤M alors pour tout (x,y)∈I², |f(y)-f(x)|≤M|y-x|
Inégalité des accroissements finis
Pour tout réel x et pour tout entier n, (cos(x)+i*sin(x))^n=cos(nx)+i*sin(nx)
Par contre c'est "D'Alembert" !
Il manque ici une hypothèse. Pour obtenir le théorème attendu en réponse, il faut également que f(a)=f(b).
(Pour un contre-exemple si f(a)=/=f(b) il n'y a pas à chercher loin : f(x)=x, sur l'intervalle [0;1], en fournit déjà un.)