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Développements limités et séries de Fourier
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Développements limités usuels en 0 (demandés à l'ordre 3)
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Coefficients de Fourier
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équivalents usuels en 0
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1/(1-x) =
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1+x+x^2+x^3+○(x^3)
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a0(f) =
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1/T∫f(t)dt
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Pour une fonction T-périodique et continue par morceaux avec ω=2π/T
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sin(x) ∼
|
x
|
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1/(1+x) =
|
1-x+x^2-x^3+○(x^3)
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an(f) =
|
2/T∫f(t)cos(nωt)dt
|
1-cos(x) ∼
|
x^2/2
|
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exp(x) =
|
1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+○(x^3)
|
bn(f) =
|
2/T∫f(t)sin(nωt)dt
|
tan(x) ∼
|
x
|
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ln(1+x) =
|
x-(x^2/2)+(x^3/3)+○(x^3)
|
a0(f) =
|
2/T∫f(t)dt
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Pour une fonction T-périodique, PAIRE et continue par morceaux avec ω=2π/T
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ln(1+x) ∼
|
x
|
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cos(x) =
|
1-(x^2/2!)+○(x^3)
|
an(f) =
|
4/T∫f(t)cos(nωt)dt
|
exp(x) ∼
|
x
|
|
sin (x) =
|
x-(x^3/3!)+○(x^3)
|
bn(f) =
|
0
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(1+x)^α ∼
|
αx
|
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tan(x) =
|
x+(x^3/3)+○(x^3)
|
a0(f) =
|
0
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Pour une fonction T-périodique, IMPAIRE et continue par morceaux avec ω=2π/T
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ch(x) =
|
1+(x^2/2!)+○(x^3)
|
an(f) =
|
0
|
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sh(x) =
|
x+(x^^3/3!)+○(x^3)
|
bn(f) =
|
4/T∫f(t)sin(nωt)dt
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(1+x)^α =
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1+αx+((α(α-1)x^2)/2!)+((α(α-1)(α-2)x^3/3!)○(x^3)
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Trigonométries
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Angles associées
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Formules d'addition et de duplications
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cos(-x) =
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cos(x)
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cos(a+b) =
|
cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
|
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sin(-x) =
|
-sin(x)
|
cos(a-b) =
|
cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
|
|
|
cos(π-x) =
|
-cos(x)
|
sin(a+b) =
|
sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
|
|
|
sin(π-x) =
|
sin(x)
|
sin(a-b) =
|
sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
|
|
|
cos(π+x) =
|
-cos(x)
|
tan(a+b) =
|
(tan(a)+tan(b))/1-tan(a)tan(b)
|
|
|
sin(π+x) =
|
-sin(x)
|
tan(a-b) =
|
(tan(a)-tan(b))/1+tan(a)tan(b)
|
|
|
tan(-x) =
|
-tan(x)
|
cos(2a) =
|
cos^2(a)-sin^2(a)
|
en fonction de cos et sin
|
|
tan(π+x) =
|
tan(x)
|
1-sin^2(a)
|
en fonction uniquement de sin
|
|
cos(π/2-x) =
|
sin(x)
|
2cos^2(a)-1
|
en fonction uniquement de cos
|
|
sin(π/2+x) =
|
cos(x)
|
sin(2a) =
|
2sin(a)cos(a)
|
|
|
|
|
tan(2a) =
|
2tan(a)/(1-tan²(a))
|
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Equations différentielles du second ordre
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Solution à valeurs complexes
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Solution à valeurs réelles
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Δ
|
Solutions de (EC)
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Ensemble de solutions de (H)
|
Δ
|
Solutions de (EC)
|
Ensemble de solutions de (H)
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Δ≠0
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2 solutions r1 et r2
|
λexp(r1x)+μexp(r2x)
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Δ>0
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r1 et r2 réelles avec r1≠r2
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λexp(r1x)+μexp(r2x)
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Δ=0
|
une solution double r0
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(λx+μ)exp(r0x)
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Δ=0
|
solution double réelle r0=r1=r2
|
(λx+μ)exp(r0x)
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/!\ écrire uniquement les fonctions /!\
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Δ<0
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r1 et r2 deux solutions complexes conjuguées r1=α+iβ r2=α+iβ
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exp(αx)(λcos(βx)+μsin(βx))
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Dérivées et primitives
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Dérivées
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Primitives
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x^n
|
nx^n-1
|
|
x^n
|
x^(n+1)/(n+1)
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1/x
|
-1/x^2
|
|
1/x^2
|
-1/x
|
|
|
x^(1/2)
|
1/(2x^(1/2))
|
|
1/x^(1/2)
|
2(x^(1/2))
|
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|
cos(x)
|
-sin(x)
|
|
cos(x)
|
sin(x)
|
|
|
sin(x)
|
cos(x)
|
|
sin(x)
|
-cos(x)
|
|
|
tan(x)
|
1+tan^2(x)
|
avec tan(x)
|
1/cos^2(x)
|
tan(x)
|
|
|
1/cos^2(x)
|
avec cos(x)
|
1+tan^2(x)
|
tan(x)
|
|
|
exp(x)
|
exp(x)
|
|
tan(x)
|
-ln|cos(x)|
|
|
|
ln(x)
|
1/x
|
|
1/x
|
ln(x)
|
|
|
ch(x)
|
sh(x)
|
|
exp(x)
|
exp(x)
|
|
|
sh(x)
|
ch(x)
|
|
ch(x)
|
sh(x)
|
|
|
th(x)
|
1-th^2(x)
|
avec th(x)
|
sh(x)
|
ch(x)
|
|
|
1/ch^2(x)
|
avec ch(x)
|
1/ch²(x)
|
th(x)
|
|
|
arcsin(x)
|
1/(1-x^2)^(1/2)
|
|
1-th²(x)
|
th(x)
|
|
|
arccos(x)
|
-1/(1-x^2)^(1/2)
|
|
th(x)
|
ln|ch(x)|
|
|
|
arctan(x)
|
1/(1+x^2)
|
|
1/(1+x^2)
|
arctan(x)
|
|
|
|
|
|
1/(1-x^2)^(1/2)
|
arcsin(x)
|
|
|
|
Fonctions ch, sh et th
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ch(x) =
|
(exp(x)+exp(-x))/2
|
|
sh(x) =
|
(exp(x)-exp(-x))/2
|
|
th(x) =
|
sh(x)/ch(x)
|
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Géométrie dans le plan et l'espace
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Plan
|
Espace
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équation cartésienne d'une droite
|
ax+by+c=0
|
|
équation cartésienne d'un plan
|
ax+by+cz+d=0
|
|
|
représentation paramétrique d'une droite
|
x=xa+αt
|
avec u(α,β) un vecteur directeur de la droite, un point A(xa,ya) de la droite et t∈ℝ
|
système d'équations paramétriques d'un plan
|
x=xa+αt+α's
|
avec u(α,β,γ), v(α',β',γ') non colinéaires, A(xa,ya,za) un point du plan et (t,s)∈ℝ
|
|
y=ya+βt
|
y=ya+βt+β's
|
|
u·v =
|
xx'+yy'
|
avec u(x;y) et v(x';y')
|
z=za+γt+γ's
|
|
0
|
si u⊥v
|
système d'équations paramétriques d'une droite
|
x=xa+αt
|
avec u(α,β,γ) un vecteur directeur de la droite, A(xa,ya,za) un point de la droite et t∈ℝ
|
|
det(u,v) =
|
xy'+x'y
|
avec u(x;y) et v(x';y')
|
y=ya+βt
|
|
0
|
si u et v colinéaires
|
z=za+γt
|
|
det(λu+μv,w) =
|
λdet(u,w)+μdet(v,w)
|
bilinéarité
|
système d'équations cartésiennes d'une droite
|
ax+by+cz+d=0
|
avec (a,b,c) et (a',b',c') non proportionnels
|
|
det(v,u) =
|
-det(u,v)
|
antisymétrie
|
a'x+b'y+c'z+d'=0
|
|
det(u,u) =
|
0
|
conséquene de l'antisymétrie
|
[u,v,w] =
|
(u∧v)·w
|
avec le produit vectoriel et le produit scalaire
|
|
équation de cercle
|
(x-xΩ)^2+(y-yΩ)^2=R^2
|
De centre Ω(xΩ,yΩ) et de rayon R
|
équation de cercle
|
(x-xΩ)^2+(y-yΩ)^2+(z-zΩ)^2=R^2
|
De centre Ω(xΩ,yΩ,zΩ) et de rayon R
|
|
|
Nombres complexes
|
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Soit z=a+ib
|
|
͞z =
|
a-ib
|
|
|
z+͞z/2 =
|
Re(z)
|
|
|
͞zz =
|
a^2+b^2
|
|
|
|z| =
|
(a^2+b^2)^(1/2)
|
|
|
exp(iϴ) =
|
cos(ϴ)+isin(ϴ)
|
|
|
cos(ϴ) =
|
(exp(iϴ)+exp(-iϴ))/2
|
Formules d'Euler
|
|
sin(ϴ) =
|
(exp(iϴ)-exp(-iϴ))/2i
|
|
(cos(ϴ)+isin(ϴ))^n =
|
cos(nϴ)+isin(nϴ)
|
Formules de Moivre
|
|
|
Formules des fonctions exp et ln
|
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exp
|
ln
|
|
exp(a)exp(b) =
|
exp(a+b)
|
ln(ab) =
|
ln(a)+ln(b)
|
|
exp(-a) =
|
1/exp(a)
|
ln(1/a) =
|
-ln(a)
|
|
exp(a)/exp(b) =
|
exp(a-b)
|
ln(a/b) =
|
ln(a)-ln(b)
|
|
exp(a)^n =
|
exp(na)
|
ln(a^n) =
|
nln(a)
|
|
|
Sommes et coefficients binomiaux
|
|
Σ k =
|
n(n+1)/2
|
|
|
Σ q^k =
|
1-q^(n+1)/1-q
|
si q≠1
|
|
n+1
|
si q=1
|
|
(n;0) =
|
(n;n)
|
en coefficient binomiale
|
|
1
|
en réel
|
|
(n;1) =
|
(n;n-1)
|
en coefficient binomiale
|
|
n
|
en réel
|
|
(n;p) =
|
(n;n-p)
|
|
|
(n;p)+(n;p+1) =
|
(n+1;p+1)
|
Formule de Pascal
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Si f(-x) = f(x) alors f est
|
paire
|
|
|
Si f(-x) = -f(x) alors f est
|
impaire
|
|
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Limites usuels en 0
|
|
lim sin(x)/x =
|
1
|
|
lim ln(1+x)/x =
|
1
|
|
lim 1-cos(x)/x^2 =
|
1/2
|
|
lim exp(x)-1/x =
|
1
|
|
